Головна

   Велика Радянська Енциклопедія



Наближене рішення

   
 

Наближене рішення диференціальних рівнянь, отримання аналітичних виразів (формул) або чисельних значень, що наближають з тією чи іншим ступенем точності шукане приватне рішення диференціального рівняння.

П. р. диференціальних рівнянь у вигляді аналітичного виразу може бути знайдено методом рядів (статечних, тригонометричних та ін), методом малого параметра, послідовних наближень методом , Ритца і Гальоркіна методами , Чаплигіна методом . Кожен з цих методів визначає один або кілька нескінченних процесів, за допомогою яких при виконанні певних умов можна отримати точне рішення задачі. Для отримання П. р. зупиняються на деякому кроці процесу.

Якщо рішення шукається у вигляді нескінченного ряду, то за П. р. приймають кінцевий відрізок ряду. Наприклад, нехай потрібно знайти рішення диференціального рівняння y ' = f ( x, у ), задовольняє початковим умовам у (х0) = y0, причому відомо, що f ( x, у ) - аналітична функція х, у в деякій околиці точки (х0, y 0). Тоді рішення можна шукати у вигляді статечного ряду:

y (x) - y (x0) = .

Коефіцієнти Ak ряду можуть бути знайдені або за формулами:

A1 = y? 0 = f (x0, y 0);

або за допомогою невизначених коефіцієнтів методу . Метод рядів дозволяє знаходити рішення лише при малих значеннях величини х - х 0.

Часто (наприклад, при вивченні періодичних рухів в небесній механіці і теорії коливань) зустрічається випадок, коли рівняння складається з членів двоякого виду: головних і другорядних, причому другорядні члени характеризуються наявністю в них малих постійних множників. Зазвичай після відкидання другорядних членів виходить рівняння, що допускає точне рішення. Тоді рішення основного рівняння можна шукати у вигляді ряду, першим членом якого є рішення рівняння без другорядних членів, а інші члени ряду розташовані за ступенями малих постійних величин, що входять в другорядні члени (малих параметрів). При цьому рівняння для коефіцієнтів при ступенях малих параметрів лінійні, що полегшує їх рішення. У ролі малого параметра іноді виступають початкові значення (наприклад, при вивченні коливань біля положення рівноваги). Метод малого параметра був використаний при вирішенні задачі про возмущенном русі в небесній механіці Л. Ейлером і П. Лапласом . Теоретичне обгрунтування цього методу дали А. М. Ляпунов і А. Пуанкаре .

До чисельних методів належать методи, що дозволяють знаходити П. р.. при деяких значеннях аргументу (тобто отримувати таблицю наближених значень шуканого рішення), користуючись відомими значеннями рішення в одній або декількох точках. Такими методами є, наприклад, метод Ейлера, метод Рунге і цілий ряд різницевих методів.

Пояснимо ці методи на прикладі рівняння

y? ? = f ( x, у )

з початковою умовою у (х0) = y0. Нехай точне рішення цього рівняння представлене в деякій околиці точки х0 у вигляді ряду за ступенями h = х - х0 Основною характеристикою точності формул П. р.. диференціальних рівнянь є вимога, щоб перші k членів розкладання в ряд за ступенями h П. р. збігалися з першими k членами розкладання в ряд за ступенями h точного рішення.

Основна ідея методу Ейлера полягає в застосуванні методу рядів для обчислення наближених значень рішення у (х) в точках x1, x 2, ..., x n деякого фіксованого відрізка [х0, b] Так, для того щоб обчислити у (х1), де х1 = х0 + h, h = ( b - x 0) / n, представляють у (х1) у вигляді кінцевого числа членів ряду за ступенями h = х1 - х0. Наприклад, обмежуючись першими двома членами ряду, отримують для обчислення у ( xk ) формули:

,

Це т. н. метод ламаних Ейлера (на кожному відрізку [ xk , x k +1 ] інтегральна крива замінюється прямолінійним відрізком - ланкою ламаної Ейлера). Похибка методу пропорційна h2.

У методі Рунге замість того, щоб відшукувати похідні, знаходять таку комбінацію значень f ( x, у ) у деяких точках, яка дає з певною точністю декілька перших членів статечного ряду для точного рішення рівняння. Наприклад, права частина формули Рунге:

,

де

;

;

;


дає перші п'ять членів статечного ряду з точністю до величин порядку h5.

В різницевих формулах П. р. вдається кілька разів використовувати вже обчислені значення правої частини. Рішення шукається у вигляді лінійної комбінації у ( xi ), h i і різниць D ihj, де

hj = hf (xj, y j); Dh j = h j +1 - h j;

Dihj = D i-1 h j +1 - D i-1 hj.

Прикладом різницевої формули П. р.. є екстраполяціонного формула Адамса. Так, формула Адамса, що враховує "різниці" 3-го порядку:

дає рішення у (х) в точці xk с точністю до величин порядку h4.

Для рівнянь 2-го порядку можна отримати формули чисельного інтегрування шляхом двократного застосування

Формула

k = 2

k = 3

k = 4

(1 + x)3 "1 + x

0,065

0,021

0,31 (17? 48 ')

0,144 (8 ? 15 ')

0,067 (3? 50')

0,10 (5? 43 ')

0,031 (l '48 ')

0,010 (0? 34')

0,25 (14? 8 ')

0,112 (6 ? 25 ')

0,053 (3? 2')

0,14

0,47

0,015 Адамса. Норвезька математик К. Стермер отримав формулу:

особливо зручну для розв'язання рівнянь виду

у''

x, у

За цією формулою знаходять D

n-1

а потім

n +1

+ D

n +

+ D

n-1

. Знайшовши

n +1

, обчислюють

y??

n +1

n +1

n +1 знаходять різниці і повторюють процес далі. = f ( Зазначені вище чисельні методи поширюються і на системи диференціальних рівнянь. ). Значення чисельних методів рішення диференціальних рівнянь особливо зросло з поширенням ЕОМ. 2y Крім аналітичних і чисельних методів, для П. р.. диференціальних рівнянь застосовуються графічні методи. У найпростішому з них будують поле напрямів, яке визначається диференціальним рівнянням, тобто в деяких точках малюють напрямки дотичній до інтегральної кривої, що проходить через цю точку. Потім проводять криву так, щоб дотичні до неї мали напрями поля (див. , Графічні обчислення y). = yn Літ.: y Березін І. З ., Жидков Н. П., Методи обчислень, 2 вид., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Чисельні методи, М., 1973: Коллатц Л., Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь, пров. з нім., М., 1953; Мілн В. Е., Чисельне рішення диференціальних рівнянь, пер, з англ., М., 1955. 1 + D2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y??n+1 = f (xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.

Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я