Головна

   Велика Радянська Енциклопедія



Поверхневий інтеграл

   
 

Поверхневий інтеграл , інтеграл від функції, заданої на якій-небудь поверхні. До П. і. призводить, наприклад, задача обчислення маси, розподіленої по поверхні S із змінною поверхневою щільністю f (M). Для цього розбивають поверхню на частини s1, s 2, ..., s n і вибирають в кожній з них по точці Mi. Якщо ці частини досить малі, то їх маси наближено рівні f (Mi) si, а маса всієї поверхні буде дорівнює . Це значення тим ближче до точного, чим менше частини si. Тому точне значення маси поверхні є

,

де межа береться за умови, що розміри всіх частин si (і їх площі) прагнуть до нуля. До аналогічних межам приводять і інші завдання фізики. Ці межі називають П. і. першого роду від функції f (M) по поверхні S і позначають

.

Їх обчислення приводиться до обчислення подвійних інтегралів (див. Кратний інтеграл ).

У деяких задачах фізики, наприклад при визначенні потоку рідини через поверхню S, зустрічаються межі аналогічних сум з тією лише різницею, що замість площ самих частин коштують площі їх проекцій на три координатні площини. При цьому поверхня S передбачається орієнтованою (тобто вказано, яке з напрямків нормалей вважається позитивним) і площа проекції береться зі знаком + або - залежно від того, чи є кут між позитивним напрямом нормалі і віссю, перпендикулярної площині проекцій, гострим або тупим. Межі сум такого виду називають П. і. другого роду (або П. і. за проекціями) і позначають

.

На відміну від П. та. першого роду, знак П. і. другого роду залежить від орієнтації поверхні S.

М. В. Остроградський встановив важливу формулу, що зв'язує П. і. другого роду по замкнутій поверхні S з потрійним інтегралом по обмеженому нею обсягом V (див. Остроградського формула ). З цієї формули випливає, що якщо функції Р, Q, R мають безперервні приватні похідні і в об'ємі V виконується тотожність

,

то П. і. другого роду по всіх поверхнях, що містяться в V і мають один і той же контур, рівні між собою. У цьому випадку можна знайти такі функції P1, Q 1, R 1, що

, , .

? Стокса формула висловлює криволінійний інтеграл по замкнутому контуру через П. і. другого роду по обмеженою цим контуром поверхні.

Літ.: Нікольський С. М ., Курс математичного аналізу, т. 2, М., 1973: Ільїн В. А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 вид., т. 2, М., 1973.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я