Головна

   Велика Радянська Енциклопедія

Лінійні диференціальні рівняння

   
 

Лінійні диференціальні рівняння , диференціальні рівняння виду

y(n) + p 1(x) у( n-1 ) + ... + P n(x) y = f (x), (1)

де у = y (x) - шукана функція, y(n), у ( n-1 ), ..., y ' - її похідні, a p1(x), p 2(x), ..., p n(x) (коефіцієнти) і f(x) (вільний член) - задані функції (див. Диференціальні рівняння ). У рівняння (1) шукана функція у і її похідні входять в 1-го ступеня, тобто лінійно, тому воно називається лінійним. Якщо f(x) ? 0, то рівняння (1) називається однорідним, в іншому випадку - неоднорідним. Загальне рішення y0 = y 0(x) однорідного Л. д. у. за умови безперервності його коефіцієнтів pk(x) виражається формулою:

y0 = C 1y1(x) + С 2у2(х) + ... + C nyn(x),

де C1, C 2, ..., C n - довільні постійні і y1(x), у 2(х), ..., y n(x) - лінійно незалежні (див. Лінійна залежність ) приватні рішення, що утворюють т. зв. фундаментальну систему рішень. Критерієм лінійної незалежності рішень служить нерівність нулю (хоча б в одній точці) визначника Вроньскій ( вронскіан ):

© ? (2)

Загальне рішення у = у (х) неоднорідного Л. д. у. (1) має вигляд:

y = y 0 + Y ,

де y0 = y 0(x) - спільне рішення відповідного однорідного Л. д. у. і Y = Y (x) - приватне рішення даного неоднорідного Л. д. у. Функція Y(x) може бути знайдена за формулою:

,

де yk(x) - рішення, складові фундаментальну систему рішень однорідного Л. д. у ., і Wk(x) - алгебраїчне доповнення елемента yk( n-1 )(x) у визначнику (2) Вроньскій W(x).

Якщо коефіцієнти рівняння (1) постійні: pk(x) = a k (k = 1, 2, .. ., n), то загальне рішення однорідного рівняння виражається формулою:

,

де a k? ib k (k = 1, 2, ..., m; ) - коріння т. н. характеристичного рівняння:

ln + a 1l n-1 + ... + A n = 0,

nk - кратності цих коренів і C ks , D ks - довільні постійні.

Приклад. Для Л. д. у. Y??? + У = 0 характеристичне рівняння має вигляд: l 3 + 1 = 0. Його країнами є числа:

l1 = -1; l 2 = ? Та l 3 =

Отже, загальне рішення цього рівняння такий:

.

Системи Л. д. у. мають вигляд:

? (3)

(j = 1, 2, ..., n).

Загальне рішення однорідної системи Л. д. у. [Одержуваної з системи (3), якщо все fj(x) ? 0] дається формулами:

?

(j = 1, 2, ..., n)

де y j1 , y j2 , ..., y jn - лінійно незалежні приватні рішення однорідної системи (тобто такі, що визначник ? y jk (x) ? ? 0 хоча б в одній точці).

У разі постійних коефіцієнтів p jk (x) = a jk приватні рішення однорідної системи слід шукати у вигляді:

?

(j = 1, 2, ..., n),

де A js - невизначені коефіцієнти, al k - коріння характеристичного рівняння

?

и mk - кратність цих коренів. Повний аналіз всіх можливих тут випадків проводиться за допомогою теорії елементарних дільників [см. Нормальна (жорданова) форма матриць ].

Для вирішення Л. д. у. і систем Л. д. у. з постійними коефіцієнтами застосовуються також методи операційного числення.

Літ.: Степанов В. В., Курс диференціальних рівнянь, 8 видавництво., М., 1959; Смирнов В. І., Курс вищої математики, т. 2, 20 вид., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 видавництво., М., 1969; Понтрягин Л. С., Звичайні диференціальні рівняння, 3 вид., М., 1970.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
© 2014-2022  vre.pp.ua