Головна

   Велика Радянська Енциклопедія

Лежандра многочлени

   
 

Лежандра многочлени , сферичні многочлени, спеціальна система многочленів послідовно зростаючих ступенів. Вперше розглядалася А. Лежандром і П. Лапласом (в 1782-85) незалежно один від одного. Для n = 0,1,2, ... Л. м. Р (х) можуть бути визначені формулою:

,

зокрема:

, , ,

,

,

?

і т.д. Всі нулі многочлена Pn (x) - дійсні і лежать в основному проміжку [-1, +1], перемежовуючись з нулями многочлена P n + i (x). Л. м. - ортогональні многочлени з вагою 1 на відрізку [-1, +1,]; вони утворюють повну систему, чим обумовлюється можливість розкладання в ряд по Л. м. довільної функції f (x), интегрируемой на відрізку [-1, +1]:

,

де .

Характер збіжності рядів по Л. м. приблизно той же, що і рядів Фур'є.

Явна вираз для Л. м.:

.

Твірна функція:

(Л. м. - коефіцієнти при n-го ступеня в розкладанні цієї функції за ступенями t). Рекурентна формула:

nP n (x) + ( n - 1) P n-2 (x) - (2 n - 1) xP n -1 (x) = 0.

Диференціальне рівняння для Л. м.

виникає при поділі змінних в рівнянні Лапласа в сферичних координатах. Див також Сферичні функції .

© Літ.: Янке Е., Емде Ф., Леш Ф., Спеціальні функції. Формули, графіки, таблиці, пров. з нім., 2 изд., М., 1968; Лебедєв Н. Н., Спеціальні функції та їх застосування, 2 изд., М. - Л., 1963.

© В. Н. Бітюцького.





Виберіть першу букву в назві статті:

а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я

Повний політерний каталог статей


 

Алфавітний каталог статей

  а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ы э ю я
 


 
© 2014-2022  vre.pp.ua