Лежандра многочлени , сферичні многочлени, спеціальна система многочленів послідовно зростаючих ступенів. Вперше розглядалася А. Лежандром і П. Лапласом (в 1782-85) незалежно один від одного. Для n = 0,1,2, ... Л. м. Р (х) можуть бути визначені формулою:
, зокрема:
, , , ,
, ?
і т.д. Всі нулі многочлена Pn (x) - дійсні і лежать в основному проміжку [-1, +1], перемежовуючись з нулями многочлена P n + i (x). Л. м. - ортогональні многочлени з вагою 1 на відрізку [-1, +1,]; вони утворюють повну систему, чим обумовлюється можливість розкладання в ряд по Л. м. довільної функції f (x), интегрируемой на відрізку [-1, +1]: ,
де . Характер збіжності рядів по Л. м. приблизно той же, що і рядів Фур'є.
Явна вираз для Л. м.: .
Твірна функція: (Л. м. - коефіцієнти при n-го ступеня в розкладанні цієї функції за ступенями t). Рекурентна формула: nP n (x) + ( n - 1) P n-2 (x) - (2 n - 1) xP n -1 (x) = 0. Диференціальне рівняння для Л. м. виникає при поділі змінних в рівнянні Лапласа в сферичних координатах. Див також Сферичні функції . © Літ.: Янке Е., Емде Ф., Леш Ф., Спеціальні функції. Формули, графіки, таблиці, пров. з нім., 2 изд., М., 1968; Лебедєв Н. Н., Спеціальні функції та їх застосування, 2 изд., М. - Л., 1963. © В. Н. Бітюцького.
Виберіть першу букву в назві статті:
|